秦季槱三位同庚（同生于淳熙五年，即1178年）、同年登进士甲科的挚友许奕、魏了翁、真德秀，既是南宋敢于直面朝廷腐败，敢于抨击史弥远、贾似道等奸臣，主战抗击外来入侵的忠臣，又学识渊博，秦季槱比许奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第，论年龄为长。他们四人同时立朝，政治倾向相同，都忠臣良相，有着特殊的四方关系，还是秦九韶的长者，秦季槱必然会恭请挚友为子师，督促秦九韶虚心向他们学习渊博精深的知识，三位长者对秦九韶的关心、呵护自然是不言而喻，且魏了翁，“少长，英悟绝出，日诵千余言，过目不再览,乡里称为神童。年十五，著韩愈论，抑扬顿挫，有作者风”。

秦九韶年少“不闲於艺，因得访于太史，又尝从隐君子受数学”、“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究”，两人少时天赋、性格极其相似，魏了翁必然更是喜欢和器重秦九韶，做他的良师益友。聪慧好学的秦九韶，不仅潜心向真德秀、魏了翁、许奕学习诗词、天文、祭祀、历法等知识，十分崇敬他们的刚直不阿的道德情操，学习他们对国事的忠悃，对奸臣的愤激。

秦九韶虚心向叶适学习哲学、文学、政论，尤其是叶适“强调‘道’存在于事物本身之中，‘物之所在，道则在焉’。提倡对事实作实际考察：‘夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬’”等思想对秦九韶影响很深。数年后，秦九韶“数数之传，以实为体”的论断经典，应该说是受叶适“夫与折衷天下之义理，必尽考详天下之事物而后不谬”思想的极大影响。或许就是叶适“‘道’存在于事物本身之中‘物之所在，道则在焉’”这一哲学思想在数学上的演进。同时，秦九韶还虚心向杨简学习诗词、历法和哲学思想，尤其是“心即是道，宇宙的变化即人心的变化过程，以明心为修养之本”等哲学思想体悟很深。

秦九韶还拜李梅亭为师，学习骈俪、诗词、游戏、毬马、弓剑，后来李刘与秦九韶成为朋友，经常有来往。

秦九韶的数学启蒙之师是隐君子陈元靓。绍定三年之前，陈元靓已经有隐君子之称，他和朱鉴等一起在临安的机会最多，他看的书极多，尤其是新书，对数学很有研究，到过文化发达的城市，居处距临安不远，去临安不是很困难，秦九韶拜师向他学习数学就是情理之中的事情，“朱熹、陈元靓都是道学家，或者说对秦九韶有影响，秦认为‘数与道非二本’的‘道’可能是通过瘾君子陈元靓学来的。

应该说：秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习，才逐渐成为一名学识广博的青年学者。

宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。

《数书九章》9章18卷，9章9类，“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”。每类9题（9问），共81题（81问）。

《数书九章》的内容非常丰富，天文、星象、历律、测候，河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易，都有，被誉为“算中宝典”。我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等社会经济领域的真实情况。

《数书九章》的写作方式很有意思，大多篇章是由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四个部分组成的。“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出这个问题的答案；“术曰”，则是进一步阐述解决问题的原理和步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。

《数书九章》对中国乃至世界数学的影响都很大。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。

秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时它又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。

在欧洲最早是1559年法国学者给出的，比秦九韶晚了300多年。

《数书九章》是对我国古典数学奠基之作《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期我国传统数学的主要成就，标志着我国古代数学的高峰。其中的“正负开方术”和“大衍求一术”长期以来影响着我国数学的研究方向。秦九韶的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

秦九韶在中国传统数学领域不仅仅是一位学霸泰斗，还是一位善于继承、敢于创新、勇于把研究的数学成果服务于国家、服务于社会、服务于人民的数学大师。

当时，天文、历法、气候、雨雪预报的准确性，直接关系到农业的丰歉、民生存亡，对于抵御外来入侵、平抑蛮夷、戍边屯兵、行军打仗至关重要。宝庆元年六月（公元1225年），秦九韶随父潼川守郡。在潼川府的社会实践中，秦九韶开始运用数学广泛研究天文、历法，观测气象，探寻科学计算降雨量和降雪量的正确方法。在此期间，秦九韶发现南宋朝廷推行的测算雨量、雪量的方法是错误的，“积以器移”是令人啼笑皆非的怪现象，他严厉批评这种采取同一次降雨或降雪，用不同的量雨器、量雪器的方法，其所测得出的计算结果，实际是一个不准确或者说是错误的数据，发挥不了应有的作用。

经过不断地研究尝试，秦九韶运用数学方法，推出“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”等科学计算降雨量和降雪量的方法。实践证明，秦九韶推出的科学计算方法，获得计算雨雪量、气象预报等数据是准确的，尤其是秦九韶发明的雨量器、雪量器，才是科学测试计算雨雪量的工具。

由此，数年之后，宋理宗诏谕秦九韶觐见，秦九韶成为了中国古代唯一与皇帝直面奏对的伟大数学、天文、气象、历法学家。宋理宗还颁布诏令，在南宋州郡使用秦九韶发明的“天池盆”“圆罂”“竹蘿”等雨量器、雪量器，观测和计算雨雪量。

秦九韶发明的“天池盆”是世界文化史上现存最早记录的雨量器、雪量器。而欧洲直到明崇祯己卯年（公元1639年），才有卡士戴里首创雨量计的使用，比中国要晚近400年。

秦九韶用“平地得雨之数”量度雨水，是世界最早为雨量测定而奠定基础科学理论的科学家。他曾为杭州百姓建造一座桥，并以他的名字命名为“道古桥”；他在湖州的住宅也是自己设计，极其宏伟宽敞，可以看出其建筑才能；另外在四川由于成都府路、潼川府路大旱，当地官府便组织农民修石坝、石堰，秦九韶就积极地运用数学知识指导农民的修建。甚至他还利用数学知识为那些因河水泛滥，庄家被淹后边界不清的田地进行测量，化解了很多民间纠纷。可以说这段时期，秦九韶已经能充分利用自己的知识来解决一些现实的问题。

据称，秦九韶在任和州守期间，利用手中职权贩盐，强行卖给老百姓，从中牟利。后来他定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”。生活奢华，“用度无算”。在这些记载里，秦九韶横行乡里鱼肉百姓，多次被取消任命；他利用自己的数学特长攫取了上司的田产。一系列的事件，经过文坛大咖刘克庄的宣传，秦九韶为人“不仁、不义、不孝、不廉”：“暴如虎狼、毒如蛇蝎、非复人类”。“多蓄毒药，如所不喜者，必遭其毒手”。在多人的渲染下，秦九韶声名狼藉。1261年，他被贬至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所。

对同一件事情，不同阶层或不同集团的人从不同角度看问题，都会得出完全不同的结论。在资料不足的情况下，我们宁可存疑，也不必贸然相信。

由于秦九韶生前太具有争议，在他死后，《宋史》和其他地方志都没有为他立传，学术界也将他视作有道德污点的天才。

虽然没有被中国古代主流价值观认可的秦九韶，却在西方科学家那里得到了高度的赞扬。美国著名的科学史家萨顿认为”秦九韶是他所在的民族，他那个时代，最伟大的数学家之一”。英国BBC制作播出的4集纪录片《数学的故事》也夸赞着他的学术成就。

要知道，他是唯一一个被提及的中国数学家，这些褒奖之词秦九昭当之无愧：

从历史的角度来看，秦九韶的《数书九章》成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献；从整个世界广度来看，这部著作代表了中世纪世界数学发展的最高水平，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

时至今日，他对世界数学的贡献依然熠熠生辉，是我们华夏民族的骄傲。